首页

加入收藏

您现在的位置 : 首页 > 体育健身

中科院院士林群:教科书把简单东西讲得复杂,学微积分只需此案例

时间:02-02 来源:体育健身 访问次数:15

中科院院士林群:教科书把简单东西讲得复杂,学微积分只需此案例

林群院士在一次演讲中说,丘成桐先生认为,微积分是一切高级数学的基本功。但是,微积分怎么学呢?你翻开一本教科书,讲解微积分要用好几百页。我从50年前就开始学微积分了,但是看一些教课书,我看得晕头转向,讲的内容太多了。许多教科书很繁琐,大家要警惕。所以我们要把微积分学好,不是读万卷书,不是走万里路,而是尽量“投机取巧”。我认为学微积分跟学别的数学一样,“假传万卷书,真传一案例”,把一个案例学好,你就把整个微积分的精神掌握了。下面我们从一个案例开始,跟着林群院士学好微积分。来源 | 人邮图灵《微分方程与三角测量》作者 | 林群数学的实用目的便是测量。最古老的例证之一是三角测量,还有一个便是微分方程。后者是干什么的?其实它所做的不过是一系列三角测量的总和。因此,认识三角测量,便能认识微分方程,即所谓温故知新。不过,两者的复杂性稍有区别:前者只做一次测量,后者要做一系列测量。微分方程被牛顿、莱布尼茨两人(图 0.1)创造以来,就被许多科学家所继承使用,甚至每一门学科都对应着一个微分方程。图 0.1例如,电磁学对应麦克斯韦方程,量子力学对应薛定谔方程,即使人口理论也对应马尔萨斯方程。2002 年暑期,西方几位专家来华访问和演讲,不约而同的是,他们的讲题要么是电磁波中的微分方程,要么是量子力学中的微分方程。这是为什么?他们回答:无论是手机制造公司,还是纳米研究公司,都要他们解出这些微分方程。微分方程对大众的生活也有切身的影响,比如手机或纳米,相关研究中都有微分方程的身影。一些关系国计民生的大事,例如人口的预测,可以由微分方程在几分钟内解决。即使人文科学,例如托尔斯泰的小说《战争与和平》中,对历史观的阐释也体现了微积的思想。可以说,自然科学、工程技术、社会科学、人文科学,都用得上微积分或微分方程。中学只讲代数方程和三角函数,那么什么是微分方程呢?虽然大学都讲了,但一般公众对微分方程多是一知半解,觉得它“深不见底”。直到有一天,当我听到关于“如何测量树高”的议论时,才恍然大悟,对微分方程的一种新理解也随之浮出水面。下面就请读者和我共同体验这个领悟的过程(图 0.2)。图 0.2牛顿、莱布尼茨或巴罗的微积分早已写在了教科书中,但写的不等于想的,他们怎么想只有他们自己知道,后人只能凭自己的经历谈心得。—天,我在一棵老树下散步,听到了下面的议论。导游:这棵老树年年都在长高,每年都有测绘人员来测树高。游客:一棵树怎么测高呀?要砍倒树或爬上去吗?我想:中学生都知道,如果有了三角学,便无须砍树或爬树,可只凭一个虚拟斜边的斜率来测量树高呀(图 0.3)!图 0.3但同时我也顿悟:这也是一个微分方程所要做的事情。事实上,如果我们面临一座山,它也对应一个“直角三角形”,不过它有着弯曲的斜边,或者说是山坡(图 0.4)。图 0.4我们处在山坡上的一点,因为视野受限,看不见远方。这时,它的斜率不再是固定不变的。如果假设每个点的斜率(这只涉及弯曲山坡在这一点附近的局部性质)都是已知的,那么这里也会出现同样的测量问题:测量山高能不能不必穿山,而只凭这些斜率呢?这属于曲斜边三角学(因为基于曲斜边三角形),实际上是解一个最简单的微分方程:已知山坡上各点的斜率(或斜率曲线),求山高(或高度曲线,图 0.5)。图 0.5斜率曲线与高度曲线合二图为一图(由于斜率在三角测量中是最重要的量,将它一一记录下来,便称为斜率曲线)。图 0.6令图 0.6 的左图收缩成一段,在一段曲线上,各点的斜率差不多相同。若将起点斜率作为这一段的斜率,然后用它来测量,给出这一段的高度增量 ≈ 起点斜率 × 底长 ≈ 缩短后斜率曲线所围面积。各段测量的总和便是总山高 = 斜率曲线所围面积。这就是牛顿 - 莱布尼茨公式。所以将微分方程比作曲斜边三角测量,其复杂性便可跟初等三角测量相比较:它们都是三角测量,只是测量的次数有所不同。这个微分方程虽然简单(有时称之为最简单的微分方程),但极其有用。例如,测量一些曲边形的面积,只要解一个微分方程,花几分钟。否则,如果没有微分方程或牛顿 - 莱布尼茨公式,就需要做无数个算术,怎么也算不完,效率有天壤之别。这就是发明微分方程的必要性。简言之,树高的测量导致三角学的出现,山高的测量导致一个微分方程的出现。可见,现实(测量)会推动数学由初等进化到高等。现实中类似的例子很多,例如 2000 年我国的人口普查,发动全民挨家挨户地直接数,花了一年多数出 12.66 亿。用微分方程来计算预测值,一个大学生只花几分钟,算出的是 13.45 亿,相差不多。这就是证明发明微分方程的必要性的实际例子(图 0.7)。图 0.7数学就是这样,另辟途径,(例如利用斜率或增长率)获取效率。大学生解微分方程(u'=cu)计算人口普查的预测值。现在,我们可以向公众解答微分方程的所作所为,它本由中学三角测量开发出来,但已不限于测量树高,且能测量许多曲边形的面积、算出人口预测值,等等。处理这些问题均无须直接做无数个算术,用微分方程花几分钟就可以算出。所以要想有效率,就要学微积分或微分方程。《微分方程与三角测量》作者:林群中国科学院院士林群用一个例子讲透微分方程,在测量树高、山高的思维转换中,领略数学的自由与魅力

本信息由网络用户发布,本站只提供信息展示,内容详情请与官方联系确认。

标签 : 体育健身